Wir haben im letzten Video einen allgemeinen Algorithmus zur

Trigonalisierung einer Matrix eingeführt und uns überlegt, wie wir durch Austausch

und Basis-Elementen durch Eigenvektoren diese Matrix überführen können in eine

obere rechte Dreiecksgestalt. Das haben wir relativ allgemein gehalten und in dem heutigen

Video möchten wir das Ganze mal an einem Beispiel durchexerzieren, damit Sie sehen,

wie die Tribunalisierung konkret aussieht und wie Sie diesen Algorithmus anwenden können.

Das heißt, das Thema des heutigen Videos ist es, ein Beispiel zur Tribunalisierung durchzurechnen.

Und ich habe mir dafür eine einfache 3 x 3 Matrix überlegt, die wir tribunalisieren wollen.

Das heißt, wir fangen an damit eine Matrix A zu definieren mit reellen Einträgen, 3 x 3.

Und die soll von folgender Gestalt sein. Wir sagen die Matrix A ist aufgebaut als, erste

Zeit ist 3 4 3, minus 1 0 und minus 1 und 1 2 3. Also diese Matrix ist voll besetzt.

Wir können nicht spontan den Rang ablesen oder die Eigenwerte. Das ist ganz schön, denn

das zeigt auch, warum die Tribunalisierung für uns später wichtig ist, da wir das in

eine ähnliche, schönere Form überführen möchten. Und das erste, was man macht natürlich

ist, wieder das charakteristische Polynom ausrechnen. Das ist in dem Fall besonders

einfach. Und zwar pA von T ist einfach dreimal der Linearfaktor T minus 2. Daran können

wir schon ablesen, dass lambda gleich 2 der einzige Eigenwert ist. Einziger Eigenwert

von A mit algebraischer Vielfachheit 3. Und das erste, was wir jetzt feststellen an der

Form des charakteristischen Polynoms, das zerfällt in den Linearfaktoren über R. Und

das war gerade das Kriterium, das für uns entscheidend ist, ob eine Matrix regionalisierbar

ist. Das heißt, in dem Fall können wir schon mal feststellen, A ist regionalisierbar.

Na, jetzt könnte man sich fragen, ist die Matrix vielleicht sogar diagonalisierbar?

Dafür müssen wir auch noch prüfen, ob die Vielfachheiten übereinstimmen. Die algebraische

Vielfachheit hatten wir hier schon bestimmt als 3. Jetzt müssen wir noch sehen, wie die

geometrische Vielfachheit ist. Dafür bestimmen wir den Eigenraum zum Eigenwert 2. Das heißt,

wir untersuchen Eigenraum von A zum Eigenwert lambda gleich 2. Das ist nichts anderes wie

der Kern der Abbildung A minus 2 mal Identitätsmatrix 3 kurz 3. Das Ganze können wir umschreiben

in den Kern der folgenden Matrix. Das ist 3 minus 2, 4, 3, minus 1, 0 minus 2, minus

1 und 1, 2 und 3 minus 2. Das Ganze können wir jetzt noch zusammenfassen. Das ist im

Endeffekt dann dasselbe wie der Kern der folgenden Matrix 1, 4, 3, minus 1, minus 2, minus 1

und 1, 2 und 1. Jetzt sehen wir schon direkt, dass die zweite und dritte Zeile linear abhängig

sind. Das heißt, dass diese Matrix den Rang 2 hat, da eine Zeile sich darstellen lässt

durch ein Vielfaches der anderen beiden Zeilen, in dem Fall sogar von einer Zeile. Das heißt,

wir wissen die Matrix hat Rang 2. A minus 2 mal I3 hat Rang 2. Und wir wissen mit der

Dimensionsformel von Bild und Kern eines Endomorphismus, dass der Kern in dem Fall

die Dimension 1 besitzen muss. Das heißt, Dimension von Kern A minus 2 mal I3 ist in

dem Fall gleich 1. Wir haben da oben schon gesagt, die algebraische Vielfachheit ist

3. Die Dimension des Kerns hier ist 1. Das heißt, die geometrische Vielfachheit ist

1. Noch dazu schreiben. Vielfachheit von Eigenwert Lande gleich 2. Und da die beiden nicht übereinstimmen,

können wir daraus schon folgern, dass die Matrix A nicht diagonalisierbar ist. Gut. Das heißt,

wir können trigonalisieren, aber nicht diagonalisieren. Ansonsten hätten wir jetzt einfach die Eigenvektoren

in Spalten der Transformationsmatrix S-inverse schreiben müssen. Können wir nicht machen,

aber wir können den neu eingeführten Algorithmus anwenden aus dem letzten Video, um die Matrix

zu trigonalisieren. Das heißt, was wir jetzt machen ist, wir wenden den Algorithmus zur

Trigonalisierung von A an. Gut. Wie gehen wir davor? Als ersten Schritt wählen wir

erstmal eine Standardbasis. Das heißt, wir betrachten die Basis B1, bestehend einfach aus

den, das haben wir letztes Mal in blau gemacht, ich versuche mal da konsistent die Farbgebung

weiterzuführen. Das heißt, wir geben eine Basis 1, B1 vor, als die kanonische Einheitsbasis des R3.

Das waren die Vektoren E1, E2, E3. Und das haben wir hier oben vergessen, das fühle ich noch kurz

ein. Wir haben den Eigenvektor noch gar nicht bestimmt, das können wir aber noch machen.